Σάββατο, 27 Δεκεμβρίου 2008

Αρχική Φάση και τρέχoν κύμα...

Με ερέθισμα τη συζήτηση που έχει αναπτυχθεί στο ιστολόγιο του εκλεκτού συναδέλφου Διονύση Μάργαρη ας ξεκινήσουμε να ξεκαθαρίσουμε λίγο τα πράγματα για το τι συμβαίνει με την αρχική φάση π rad (και γενικότερα με την αρχική φάση στο κύμα).
Η βασική αρχή που πρέπει όλοι να κατανοούμε όταν συζητάμε για την αρχική φάση στο κύμα, είναι ότι όλα τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου ηρεμούν στη θέση ισορροπίας τους (y = 0) πριν φτάσει σε αυτά το κύμα και όταν τελικά φτάσει το κύμα σε κάποιο υλικό σημείο, τότε το σημείο αυτό είτε θα κινηθεί προς τα πάνω με +υ max (η συντριπτική πλειοψηφία των κυμάτων που μελετάμε), είτε θα κινηθεί προς τα κάτω με -υ max.

Αν τα υλικά σημεία ξεκινούν να κινούνται προς τα πάνω όταν φτάνει σε αυτά το κύμα, τότε το μπροστινό μέρος του στιγμιότυπου θα έχει τη μορφή όρους (σχήμα 1), ενώ όταν τα υλικά σημεία ξεκινούν να κινούνται προς τα κάτω, τότε το μπροστινό μέρος του στιγμιότυπου θα έχει τη μορφή κοιλάδας (σχήμα 2). Με βάση τα παραπάνω δεν είναι δυνατόν ποτέ το στιγμιότυπο ενός κύματος να είναι στιγμιότυπο "κόμπρα" (σχήμα 3), αφού κάθε υλικό σημείο όταν ξεκινά να ταλαντώνεται, ξεκινά από τη θέση ισορροπίας του (y = 0).


Τι σημαίνει όμως αρχική φάση για ένα κύμα;
(ανανεωμένο για πιο γενική αντιμετώπιση)
Πρέπει να ξεχωρίσουμε την αρχική φάση ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου από την αρχική φάση του κύματος. Η αρχική φάση του κύματος εμφανίζεται στην εξίσωση του κύματος ως ένας πρόσθετος όρος και άλλοτε έχει θετικό πρόσημο, ενώ άλλοτε έχει αρνητικό πρόσημο (το νόημα του θετικού και αρνητικού προσήμου φαίνεται στην επόμενη ανάλυση). Η αρχική φάση του κύματος αναφέρεται στο τι συμβαίνει τη χρονική στιγμή t = 0 με το κύμα, ως προς το αν έχει φτάσει ή όχι στο σημείο Ο(x = 0), ανεξάρτητα από το αν το κύμα εξαναγκάζει τα υλικά να κινούνται προς τα πάνω ή προς τα κάτω όταν ξεκινάνε. (εξαίρεση αποτελεί η αρχική φάση π rad που μπορεί να έχει διπλό νόημα). Το σημείο Ο(x = 0) είναι από τη φύση του ένα προνομιακό σημείο μιας και ορίζει την αρχή του άξονα που χρησιμοποιούμε. Χωρίς αυτό δεν θα μπορούσαμε να γράψουμε εξίσωση κύματος. Στην επόμενη εξίσωση φαίνεται η γενική μορφή της εξίσωσης ενός κύματος που έχει αρχική φάση (το 2π rad το έχω βάλει "μέσα" στην εξίσωση για να δείξω την αρχική φάση του κύματος).
stigmiotipo_2a.jpg

Για την εύρεση της αρχικής φάσης του κύματος πρέπει να γνωρίζουμε τη χρονική εξίσωση ταλάντωσης ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου (όχι απαραίτητα του Ο(x = 0)). Αυτή η εξίσωση θα θεωρείται από εμάς ως εξίσωση αναφοράς. Πολλές φορές χρησιμοποιούμε ως εξίσωση αναφοράς την εξίσωση ταλάντωσης του υλικού σημείου που τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινά να ταλαντώνεται. Αν το σημείο αυτό (πχ Ζ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = 0 με φορά προς τα πάνω, τότε η εξίσωση ταλάντωσής του είναι yΖ =Αημωt, ενώ αν τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινά να ταλαντώνεται με φορά προς τα κάτω, τότε η εξίσωση ταλάντωσής του είναι η yΖ =Αημ(ωt + π). Να σημειώσουμε ότι δε μας ενδιαφέρει που βρίσκεται η πηγή του κύματος.


Πως ξεχωρίζουμε αν ένα κύμα έχει αρχική φάση;

Αρχική φάση θα έχει ένα κύμα αν τη χρονική στιγμή t = 0:
  • Το κύμα έχει διαδοθεί πέρα από το σημείο Ο(x = 0).
    (1η περίπτωση)
  • Το κύμα δεν έχει φτάσει ακόμα στο σημείο Ο(x = 0).
    (2η περίπτωση)

  • Το κύμα μόλις έχει φτάσει στο σημείο Ο(x = 0) (οπότε δεν έχει περάσει πέρα από αυτό) αλλά εξαναγκάζει το υλικό σημείο Ο(x = 0) να κινηθεί προς τα κάτω.
    (3η περίπτωση)
Ας δούμε τις παραπάνω περιπτώσεις ξεχωριστά:

1η περίπτωση:
Τη χρονική στιγμή t = 0 το κύμα έχει διαδοθεί πέρα από το σημείο Ο(x = 0).
Στο επόμενο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά, τη χρονική στιγμή t = 0. Είναι φανερό ότι το κύμα τη χρονική στιγμή t = 0 έχει ήδη διαδοθεί πέρα από το σημείο Ο.
Αφού το σημείο Ζ ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = 0 με φορά προς τα πάνω, η εξίσωση ταλάντωσής του είναι η yZ = Aημωt. Αυτή την εξίσωση θα χρησιμοποιήσω ως εξίσωση αναφοράς. Έτσι για το τυχαίο σημείο του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση x του άξονα θα ισχύει η εξίσωση ταλάντωσης y = Aημ[(ωt) - Δφ], όπου Δφ η διαφορά φάσης του τυχαίου σημείου που βρίσκεται στη θέση x του άξονα και του σημείου Ζ.
Το (-) το βάζω διότι το σημείο Ζ ξεκίνησε να ταλαντώνεται πριν από το τυχαίο σημείο, οπότε η φάση του τυχαίου σημείου θα είναι μικρότερη από τη φάση του σημείου Ζ (ωt).
Το Δφ το υπολογίζω με το γνωστό τρόπο: Δφ = ωΔtt = χρονική διάρκεια που χρειάζεται το κύμα για να πάει από το ένα σημείο στο άλλο).
Είναι Δφ = ωΔt = (2π/Τ) (x-xZ)/υ ==>Δφ = 2π(x-xZ)/λ.
Συνεπώς η εξίσωση ταλάντωσης του τυχαίου σημείου (εξίσωση του κύματος) γίνεται:

stigmiotipo_6.jpg
Ο όρος + 2πxZ/λ είναι η αρχική φάση του κύματος και είναι θετικός αφού δείχνει ότι τη χρονική στιγμή t = 0 το κύμα έχει διαδοθεί πέρα από το σημείο Ο(x=0). Στην ίδια σχέση θα καταλήγαμε αν χρησιμοποιούσαμε ως εξίσωση αναφοράς την εξίσωση ταλάντωσης οποιουδήποτε σημείου του ελαστικού μέσου (που έχει ήδη ξεκινήσει την t = 0 να ταλαντώνεται).
Ας δοκιμάσουμε να χρησιμοποιήσουμε ως εξίσωση αναφοράς την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Ο(x = 0). Από το διάγραμμα φαίνεται ότι η εξίσωση ταλάντωσης του υλικού σημείου Ο(x = 0) είναι yO = Aημ(ωt + 7π/2).
Για το τυχαίο σημείο x είναι
y
= Aημ(ωt +7π/2 - Δφ) = Αημ(ωt + 7π/2 - 2πx/λ) ==>
y
= Aημ(ωt - 2πx/λ + 7π/2).
Αν στον τύπο που προέκυψε από την ανάλυση με εξίσωση αναφοράς το σημείο Ζ, βάλετε όπου xZ = 3λ/2 + λ/4 θα προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα.

Ας δούμε και την περίπτωση, το κύμα να διαδίδεται προς τα δεξιά και τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου να ξεκινούν να ταλαντώνονται με φορά προς τα κάτω. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο θα είναι αυτό που φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

stigmiotipo_7.jpg

Αν θέλαμε να επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία εύρεσης της αρχικής φάσης θεωρώντας και πάλι ως εξίσωση αναφοράς την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Ζ, θα γράφαμε: yZ = Aημ(ωt+π) και για το τυχαίο σημείο που βρίσκεται στη θέση x του άξονα:
y
= Aημ[(ωt + π) - Δφ].
Με τη βοήθεια του τύπου Δφ = 2π(x-xZ)/λ θα καταλήγαμε στην εξίσωση του κύματος:
stigmiotipo_8.jpg
Η αρχική φάση του κύματος είναι τώρα ο όρος +(2πxZ/λ + π) και πάλι θετικός αφού τη χρονική στιγμή t = 0 το κύμα έχει διαδοθεί πέρα από το σημείο Ο(x = 0).

2η περίπτωση: Τη χρονική στιγμή t = 0 το κύμα δεν έχει φτάσει στο σημείο Ο(x = 0).
Η εξίσωση αναφοράς θα είναι πάντοτε η εξίσωση ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου που έχει ξεκινήσει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = 0. Συνήθως μας βολεύει να χρησιμοποιούμε ως εξίσωση αναφοράς την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου που ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = 0. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός κύματος που διαδίδεται προς τ' αριστερά τη χρονική στιγμή t = 0. To κύμα αυτό είναι φανερό ότι δεν έχει φτάσει στο σημείο Ο(x = 0) τη στιγμή t = 0.

stigmiotipo_9.jpg

Χρησιμοποιώ ως εξίσωση αναφοράς την εξίσωση ταλάντωσης του σηεμίου Ζ το οποίο τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινά να ταλαντώνεται. Η εξίσωση ταλάντωσης του σημείου αυτού είναι yZ = Aημωt.
Για το τυχαίο σημείο x που έχω σημειώσει στο στιγμιότυπο, θα ισχύει
y
= Aημ[(ωt) + Δφ],
όπου Δφ η διαφορά φάσης του τυχαίου σημείου που βρίσκεται στη θέση x του άξονα και του σημείου Ζ. Το (+) το βάζω διότι το σημείο Ζ ξεκίνησε να ταλαντώνεται μετά από το τυχαίο σημείο, οπότε η φάση του τυχαίου σημείου θα είναι μεγαλύτερη από τη φάση του σημείου Ζ (ωt). Το Δφ το υπολογίζω με το γνωστό τρόπο:
Δφ = ωΔt
t = χρονική διάρκεια που χρειάζεται το κύμα για να πάει από το ένα σημείο στο άλλο). Είναι Δφ = ωΔt = (2π/Τ) (x-xZ)/υ ==>
Δφ = 2π(x-xZ)/λ
. Συνεπώς η εξίσωση ταλάντωσης του τυχαίου σημείου (εξίσωση του κύματος) γίνεται:
stigmiotipo_10.jpg

Ο όρος - 2πxZ/λ είναι η αρχική φάση του κύματος και είναι αρνητικός που μας δείχνει ότι τη χρονική στιγμή t = 0 το κύμα δεν έχει φτάσει στο σημείο Ο(x=0).
Παρατηρήστε ότι για κύμα που διαδίδεται προς τ' αριστερά το (+) μπροστά στον όρο 2πx/λ εμφανίζεται πάντοτε. Για κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά το (-) εμφανίζεται επίσης μπροστά στον όρο 2πx/λ.

3η περίπτωση: Τη χρονική στιγμή t = 0 το κύμα μόλις έχει φτάσει στο σημείο Ο(x = 0) και το εξαναγκάζει να κινηθεί με φορά προς τα κάτω. Η ίδια ανάλυση γίνεται και στην περίπτωση που η πηγή του κύματος είναι το σημείο Ο(x = 0) και ξεκινά να κινείται προς τα κάτω δημιουργώντας κύμα στο ελαστικό μέσο.
Στο επόμενο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά και τη στιγμή t = 0 μόλις έχει φτάσει στο σημείο Ο(x = 0).
Αφού το σημείο Ο(x = 0) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = 0, η εξίσωση ταλάντωσής του προσφέρεται για εξίσωση αναφοράς. Αφού το υλικό σηεμίο Ο(x = 0) ξεκινά τη στιγμή t = 0 να κινείται προς τα κάτω, η εξίσωση ταλάντωσής του είναι η yΟ = Aημ(ωt+π).
Για το τυχαίο σημείο x που έχω σημειώσει στο στιγμιότυπο, θα ισχύει
y
= Aημ[(ωt + π) - Δφ],
όπου Δφ η διαφορά φάσης του τυχαίου σημείου που βρίσκεται στη θέση x του άξονα και του σημείου Ο. Το (-) το βάζω διότι το σημείο Ο ξεκίνησε να ταλαντώνεται πριν από το τυχαίο σημείο, οπότε η φάση του τυχαίου σημείου θα είναι μικρότερη από τη φάση του σημείου Ο (ωt+π). Το Δφ το υπολογίζω με το γνωστό τρόπο:
Δφ = ωΔt
t = χρονική διάρκεια που χρειάζεται το κύμα για να πάει από το ένα σημείο στο άλλο). Είναι Δφ = ωΔt = (2π/Τ) (x-xΟ)/υ (Όμως xΟ=0) ==>
Δφ =x/λ
. Συνεπώς η εξίσωση ταλάντωσης του τυχαίου σημείου (εξίσωση του κύματος) γίνεται:
stigmiotipo_12.jpg
Ας συνοψίσουμε όλα τα παραπάνω

1) Για να βρούμε τη αρχική φάση ενός κύματος μπορούμε να επιλέξουμε μία εξίσωση αναφοράς (συνήθως επιλέγουμε την εξίσωση ταλάντωσης που τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινά να ταλαντώνεται) και στη συνέχεια με τη βοήθεια της διαφοράς φάσης να βρούμε την εξίσωση ταλάντωσης ενός τυχαίου σημείου x. Αυτή θα είναι και η εξίσωση του κύματος.
Αν μας δίνουν την εξίσωση ταλάντωσης ενός συγκεκριμένου υλικού σημείου του ελαστικού μέσου (ή προκύπτει από τα συμφραζόμενα) χρησιμοποιούμε αυτή ως εξίσωση αναφοράς.

2) Για να βρούμε πόσο μακριά έχει φτάσει το κύμα από το σημείο Ο(x = 0):
α) Μηδενίζουμε τη φάση αν τα υλικά σημεία ξεκινούν να κινούνται από τη θέση ισορροπίας του με φορά προς τα πάνω.
β) Θέτουμε τη φάση ίση με π rad αν τα υλικά σημεία ξεκινούν να κινούνται από τη θέση ισορροπίας του με φορά προς τα κάτω.

3) Το στιγμιότυπο έχει στο μπροστινό του τμήμα:
α) Όρος, εφόσον το υλικό σημείο Ο ξεκινά να κινείται με φορά προς τα πάνω (σχήμα 1).
β) Κοιλάδα, εφόσον το υλικό σημείο Ο ξεκινά να κινείται με φορά προς τα κάτω (σχήμα 2).

Παρατήρηση : Η παραπάνω ανάλυση δεν θα ήταν σωστό να αναφερθεί στους μαθητές μας στην πρώτη επαφή τους με το κύμα. Θεωρώ πολύ σημαντικό να μάθουν καλά την έννοια του κύματος όπως τη θεωρεί το σχολικό βιβλίο (δηλαδή το υλικό σημείο Ο να ξεκινά να κινείται με φορά προς τα πάνω τη χρονική στιγμή t = 0 ==> Κύμα χωρίς αρχική φάση) και αφού κατανοήσουν καλά την έννοια αυτή να περάσουμε και στην περίπτωση το υλικό σημείο Ο ξεκινά την κίνησή προς τα κάτω ή δεν ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 ==> Κύμα με αρχική φάση. Συζήτηση μπορεί να γίνει στην τάξη φτιάχνοντας ένα στιγμιότυπο με το μπροστινό του τμήμα κοιλάδα και να ζητήσουμε να ερμηνεύσουν την περίπτωση αυτή.

Υ.Γ. Για μία πολύ καλή μελέτη της αρχικής φάσης του κύματος (που για την εύρεσή της χρησιμοποιείται η χρονική διαφορά έναρξης της ταλάντωσης) μπορείτε να δείτε τη δημοσίευση αυτή.

19 σχόλια:

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Ελπίζω πολλοί συνάδελφοι να μελετήσουν την ανάλυσή σου φίλε Γιώργο. Προφανώς συμφωνώ με όσα γράφεις και ελπίζω να μην χρειαστεί μετά από όσα γράφεις να επιχειρηματολογήσουμε ξανά για το ίδιο θέμα...

Νίκος είπε...

Δύο παρατηρήσεις στην πολύ καλή και ξεκάθαρη παρουσίαση του θέματος.

1. Στο σημείο "2) Για να βρούμε πόσο μακριά έχει φτάσει το κύμα από το σημείο Ο(x = 0):
α) Μηδενίζουμε τη φάση αν τα μόρια ξεκινούν να κινούνται από τη θέση ισορροπίας του με φορά προς τα κάτω."


Το κάτω να διορθωθεί σε πάνω.

2. Σε ένα ελαστικό μέσο δεν ταλαντώνωνται ούτε τα μόρια ούτε τα γεωμετρικά σημεία, αλλά τα υλικά σημεία.
Καλό είναι να γίνεται διάκριση μεταξύ γεωμετρικών σημείων και υλικών σημείων.
Δηλαδή, να λέμε το υλικό σημείο Μ του ελαστικού μέσου του οποίου η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης βρίσκεται στη θέση Α με τετμημένη Xα=2cm ή που απέχει Rα=2cm από την αρχή του συστήματος αναφοράς.

Λίγο κουραστικό θα μου πείτε...

Καλή χρονιά με υγεία σε όλους.

physiart είπε...

Φίλε Διονύση, η αρχική φάση στο κύμα είναι ένα δύσκολο θέμα που όταν το πιάνεις θέλει προσοχή. Οι ασκήσεις σου μου έδωσαν μία πρώτης τάξης ευκαιρία να σκεφτώ μία παρουσίαση του θέματος όσο μπορεί να γίνει εις βάθος. Σ' ευχαριστώ γι' αυτό.

Φίλε Νίκο, έχεις απόλυτο δίκιο και για το λάθος αλλά και για τα υλικά σημεία. Η βιασύνη μου να γράψω την ανάλυση δημιούργησε αυτά τα προβλήματα. Σε ευχαριστώ για τις πολύτιμες υποδείξεις σου.

Ανώνυμος είπε...

Δοκίμασα πολύ ευχάριστη έκπληξη όταν είδα να συζητιέται ένα θέμα που με είχε απασχολήσει στο παρελθόν αλλά δεν είχα ικανοποιηθεί από την κουβέντα με συναδέλφους.
Η λεπτομερής ανάλυση με εντυπωσίασε. Έχω όμως ένα ερώτημα: "Να τονίσουμε εδώ ότι η αρχική φάση του Ο δεν περιορίζεται μεταξύ του 0 και του 2π rad, αφού το υλικό σημείο Ο μπορεί να έχει εκτελέσει παραπάνω από μία ταλαντώσεις από τη στιγμή που ξεκίνησε να ταλαντώνεται μέχρι τη χρονική στιγμή που θεωρείται ως t = 0"
Ποιο το φυσικό νόημα ενός κύματος με αρχική φάση πέραν του 0 ή π; Δηλαδή,υπάρχουν εφαρμογές που χρειάζεται κάτι τέτοιο ή το συναντάμε μόνο στις ασκήσεις;
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων και σας εύχομαι καλή χρονιά!

physiart είπε...

Αγαπητέ Ανώνυμε,
Το θέμα της αρχικής φάσης στο κύμα έχει μία μικρή διαφορά από την αρχική φάση στην ταλάντωση ενός σώματος ( ή υλικού σημείου).
Η αρχική φάση της ταλάντωσης ενός σώματος παίρνει τιμές από μηδέν έως 2π rad (εκτός της 2π rad) (ή από -π rad έως +π rad) διότι μεγαλύτερες τιμές οδηγούν σε επανάληψη του φαινομένου (πχ μία τιμή 3π rad δε θα είχε νόημα διότι θα έδειχνε ότι το σώμα βρίσκεται στη Θ.Ι. με υ<0, κάτι που το δείχνει και η αρχική φάση π rad).
Αντίθετα, αρχική φάση μεγαλύτερη ή ίση με 2π rad για το κύμα δεν οδηγεί σε επανάληψη, αλλά σε άλλη (διαφορετική) κατάσταση και εξηγώ αυτή τη θέση μου με ένα παράδειγμα:
Ας υποθέσουμε ότι η αρχική φάση είναι 3π rad για ένα κύμα που εξαναγκάζει τα υλικά σημεία του μέσου να ξεκινούν να κινούνται προς τα πάνω. Αυτό σημαίνει ότι το υλικό σημείο Ο(x = 0) έχει τη χρονική στιγμή t = 0 εκτελέσει ήδη 1,5 ταλάντωση, αφού το περιστρεφόμενο διάνυσμά του έχει διαγράψει 1,5 κύκλο. Συνεπώς το κύμα τη στιγμή t = 0 έχει διαδοθεί πέρα από το σημείο Ο κατά 1,5λ. Αυτή η κατάσταση είναι διαφορετική από την κατάσταση του κύματος τη στιγμή t = 0 αν η αρχική φάση είναι π rad. Πράγματι, αν η αρχική φάση ήταν π rad το υλικό σημείο Ο(x = 0) θα είχε ήδη εκτελέσει την t = 0 μισή ταλάντωση (και θα βρισκόταν όπως και προηγουμένως στη Θ.Ι. με υ<0) μόνο που το κύμα θα είχε διαδοθεί κατά 0,5λ πέρα από το Ο (και όχι κατά 1,5λ). Αυτή η κατάσταση για το κύμα είναι διαφορετική από την κατάστασή του όταν η αρχική φάση είναι 3π rad.

Ανώνυμος είπε...

Κύριε Παναγιωτακόπουλε είστε απόλυτα κατανοητός.Όμως αυτό που ρωτώ είναι νομίζω διαφορετικό.Η χρονική στιγμή που θα πάρουμε για t=0 είναι επιλογή μας ,όπως ορίζουμε στηνΕΟΚ u=x/t για x0=0 t0=0 .Eκεί όμως υπάρχουν προβλήματα που η αρχική θέση μπορεί να μην είναι 0 και αυτό να έχει φυσικό νόημα π.χ. το ένα κινητό να προηγείται του άλλου ή να ξεκινά αργότερα. Αυτό που ρωτώ εγώ είναι αν υπάρχει φυσικό νόημα στην αρχική φάση ενός κύματος ή είναι κάτι που εμφανίζεται μόνο σε τέτοιες ασκήσεις.
Θα μου επιτρέψετε κι άλλη μια ερώτηση:το διακρότημα εκτός από τα ηχητικά κύματα έχει κάποια άλλη εφαρμογή;(σημειώνω ότι έχω δει πως χορδίζει ο χορδιστής το πιάνο μου χρησιμοποιώντας το διακρότημα)

physiart είπε...

Αγαπητέ Ανώνυμε,

Για την αρχική φάση του κύματος έχω κάνει μία μικρή αναθεώρηση του άρθρου ώστε να γίνει πιο γενικό και να "πιάσει" όλες τις πιθανές περιπτώσεις. Ρίξτε του μια ματιά, μπορεί να σας καλύψει.
Για τα διακροτήματα, δεν μπορώ να σκεφτώ άλλη εφαρμογή (χρήση) εκτός από αυτή του κουρδίσματος των οργάνων (και δεν έχει πέσει και στην αντίληψή μου κάποια άλλη περίπτωση εφαρμογής τους)

Ανώνυμος είπε...

Η άναλυσή σας ήταν πολύ επεξηγηματική. Σας ευχαριστώ πολύ.

Ανώνυμος είπε...

Αγαπητοί δάσκαλοι,
δεν μπορώ να καταλάβω πως ενώ η φάση της πηγής ενός κύματος μπορεί να πάρει όλες τις τιμές (τόσες ασκήσεις κάναμε στις ταλαντώσεις) ένας ταλαντωτής συζευγμένος με την πηγή - υλικό σημείο του ελαστικού μέσου μπορεί να έχει φάση 0 ή π. Πως οδηγούμαστε σε αυτό τον περιορισμό και τι φυσική υπάρχει κάτω από αυτό;
Η πηγή δεν θα μπορούσε να είναι ένα σώμα δεμένο σε κατακόρυφο ελατήριο στο οποίο να ενσωματώνονταν ένα βλήμα κλπ κλπ;

καλή χρονιά!!!

physiart είπε...

Αγαπητέ φίλε Ανώνυμε, για να καταλάβεις αυτή τη συμπεριφορά, σκέψου τα υλικά σημεία ως περιστρεφόμενα διανύσματα που περιμένουν να αρχίσουν να περιστρέφονται (όταν φτάσει σε αυτά το κύμα). Επειδή δεν έχει νόημα να μιλάμε για τη φάση ενός υλικού σημείου πριν φτάσει σε αυτό το κύμα, η αρχική φάση της ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου έχει νόημα τη στιγμή που το υλικό σημείο ξεκινά να ταλαντώνεται. Επειδή κάθε υλικό σημείο θα ξεκινήσει από τη θέση ισορροπίας του (y = 0) είτε με φορά προς τα πάνω είτε με φορά προς τα κάτω, η αρχική του φάση θα είναι είτε 0 είτε π rad αντίστοιχα.

Η διαφορά με την αρμονική ταλάντωση είναι ότι στην α.α.τ. ορίζουμε ως αρχική φάση της ταλάντωσης τη φάση τη χρονική στιγμή t = 0. Στο κύμα, η αρχική φάση της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου είναι η φάση του τη στιγμή που ξεκινά να ταλαντώνεται (δεν έχει νόημα πιο πριν), δηλαδή δεν είναι η φάση του τη χρονική στιγμή t = 0 αλλά μία μεταγενέστερη χρονική στιγμή. Αυτό προσδίδει και τη διαφορά που εμφανίζεται στην έννοια.

Ανώνυμος είπε...

Κρατάω ένα νήμα, στη θέση y=1, από το ένα άκρο και το ταλαντώνω αρχίζοντας από το +1 μέχρι το +2 μετά πάλι +1, 0 και μέχρι το -2 και ξαναγυρνώντας ολοκληρώνεται η ταλάντωση στο +1.
Ενα σημείο του υλικού μέσου δεν θα επαναλάβει την ίδια κίνηση μετά από μια ορισμένη χρονική καθυστέρηση;
Υπάρχει το φυσικό φαινόμενο και "δανειζόμαστε" το μαθηματικό μοντέλο που αναφέρεται σε "αποκαταστημένο" κύμα (όλες αυτές οι παραδοχές) και στις αρμονικές συναρτήσεις.
Η αρχική φάση όμως παραμένει ένα πρόβλημα.

physiart είπε...

Σε αυτό που αναφέρεις υπάρχει το πρόβλημα των επόμενων υλικών σημείων. Που βρίσκονται τα κοντινά υλικά σημεία στο άκρο του νήματος όταν το άκρο του νήματος ξεκινά να ταλαντώνεται από το +Α/2 (+1 όπως λές); Για να φέρουμε το άκρο του νήματος στο +Α/2 ώστε από κει και μετά να ξεκινήσουμε την ταλάντωση, πρέπει να μετακινήσουμε και κάποια επόμενα υλικά σημεία προς τα πάνω Σίγουρα όμως δεν έχουμε την έννοια του κύματος όπως τη μελετάμε (κάποια επόμενα υλικά σημεία είναι ανασηκωμένα, αλλά όχι με τη λογική που τα ανασηκώνει η διάδοση ενός κύματος). Για το λόγο αυτό θεωρούμε ότι ΠΑΝΤΑ η ταλάντωση της πηγής (άρα και τον επόμενων μορίων) ξεκινάει από το μηδέν.

Ανώνυμος είπε...

Πως θα σχεδιάζαμε το στιγμιότυπο ενός κύματος με εξίσωση y=Αημ2π(t/T-x/λ+1/2) τη χρονική στιγμή t=3T/4; Είναι σωστά διατυπωμένη η ερώτηση ή χρειαζόμαστε και επιπλέον πληροφορία; Μήπως έχουμε δύο απαντήσεις με διαφορετική φυσική σημασία;

Ανώνυμος είπε...

Δοκιμάστε την παρακάτω προσομοίωση υλοποιημένη με το Mathematica 6 από τον παρακάτω κώδικα.
w[t_, x_, T_, λ_, w0_] := 2 π (t/T + w0 - x/λ);
y[f_] := Sin[f];
p[t_, x_, w0_] := Graphics[{PointSize[0.01], Red,
{If[w[t, x, 2, 5, 0] > 0, Point[{x, y[w[t, x, 2, 5, w0]]}],
Point[{x, y[w[0, 0, 2, 5, w0]]}]]}
}];

Manipulate[
Show[Table[p[t, x, w0], {x, 0, 20, 0.5}]], {t, 0, 20, 0.01}, {w0, 0,
2 Pi}]

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Με λίγη καθυστέρηση.
"Πως θα σχεδιάζαμε το στιγμιότυπο ενός κύματος με εξίσωση y=Αημ2π(t/T-x/λ+1/2) τη χρονική στιγμή t=3T/4; Είναι σωστά διατυπωμένη η ερώτηση ή χρειαζόμαστε και επιπλέον πληροφορία; Μήπως έχουμε δύο απαντήσεις με διαφορετική φυσική σημασία;"
Πράγματι η ερώτηση δεν επιδέχεται μία μόνο απάντηση, αλλά δύο.
Το θέμα εστιάζεται προς τα πού θα κινηθεί το σημείο (ας το πούμε Σ) στο οποίο φτάνει το κύμα. Προς την θετική ή την αρνητική κατεύθυνση;
Αν το Σ θα αρχίσει να κινείται προς τα πάνω (θετική φορά) το στιγμιότυπο θα εκτείνεται μέχρι τη θέση όπου φ=0 ή
2π(t/T-x/λ+1/2)=0,
και η μορφή θα είναι τέτοια ώστε στο μπροστινό μέρος του κύματος να προχωρά όρος (στο μέτωπο του κύματος).
Αν όμως το Σ αρχίσει να κινείται προς την αρνητική φορά, τότε το στιγμιότυπο θα εκτείνεται μέχρι το σημείο όπου φ=π ή
2π(t/T-x/λ+1/2)=π
και θα προχωρά κοιλάδα.
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ:
Πρέπει να έχουμε πάντα μια κρίσιμη πληροφορία. Προς τα πού κινείται το σημείο στο οποίο φτάνει το κύμα.

Ανώνυμος είπε...

Γεια χαρά. Σε αυτή την ανάρτηση αλλά και σε άλλες όπως βλέπω εδώ μέσα, οι τύποι για την εξίσωση του κύματος δεν εμφανίζονται και στη θέση τους υπάρχει το λογότυπο του imageshack.(τα διαγράμματα φαίνονται σωστά)

Έχει αλλάξει κάτι στο path με τις εικόνες των τύπων; Γίνεται να διορθωθεί αυτό για να έχουμε πλήρες το κείμενο;

Ευχαριστώ.

George Panagiotakopoulos είπε...

Το γνωρίζω το πρόβλημα και είναι στην πρόθεσή μου να το διορθώσω. Δυστυχώς όμως τώρα ο χρόνος μου είναι πολύ περιορισμένος και γι' αυτό δεν είναι δυνατόν να κάνω την αλλαγή άμεσα.
Ευχαριστώ πολύ για την υπόδειξη!

Ανώνυμος είπε...

ΟΚ, ευχαριστώ.

Fotonio22 είπε...
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.