Σάββατο, 28 Ιουνίου 2008

Φάση αρμονικά εναλλασσόμενου μεγέθους vs Φάση της ταλάντωσης

α) Φάση ενός αρμονικά εναλλασσόμενου μεγέθους
Η φάση ενός αρμονικά εναλλασσόμενου μεγέθους προσδιορίζει τη χρονική εξέλιξη του μεγέθους και έχει μαθηματική υπόσταση. Αν γράψουμε το μέγεθος που θέλουμε να μελετήσουμε με τη μορφή Ξ = Ξοημ(ωt + φ ο ) , τότε η φάση του μεγέθους δίνεται από την εξίσωση φ = ωt + φο. Με τον τρόπο αυτό έχουμε συμφωνήσει ότι η φάση του μεγέθους είναι για κάθε χρονική στιγμή ότι υπάρχει στο ημίτονο του μεγέθους . Άρα για να βρούμε τη φάση ενός αρμονικά εναλλασσόμενου μεγέθους κάθε χρονική στιγμή, πρέπει να φέρουμε το μέγεθος αυτό σε μορφή ημιτόνου. Η μελέτη του μεγέθους Ξ = Ξοημ(ωt + φ ο ) με τη βοήθεια ενός περιστρεφόμενου διανύσματος μπορεί να γίνει ως εξής:
Θεωρούμε περιστρεφόμενο διάνυσμα μήκους ίσου με το πλάτος Ξο το οποίο περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η προβολή του περιστρεφόμενου μεγέθους στον κατακόρυφο άξονα κάθε χρονική στιγμή ισούται με την τιμή του μεγέθους Ξ(t) η οποία είναι θετική όταν είναι πάνω από το σημείο Ο(Ξ = 0) και αρνητική όταν είναι κάτω από το σημείο Ο. H φάση του μεγέθους είναι η γωνία που σχηματίζει κάθε χρονική στιγμή το περιστρεφόμενο διάνυσμα και ο ημιάξονας Ox (ο οποίος μπορεί να ονομάζεται και άξονας φάσεων). Να σημειώσουμε εδώ ότι η φάση μπορεί να πάρει και τιμές μεγαλύτερες από 2π rad αφού μεγαλώνει συνεχώς καθώς περνά ο χρόνος. Η αρχική φάση φο είναι η γωνία που σχηματίζει το περιστρεφόμενο διάνυσμα με τον άξονα των φάσεων τη χρονική στιγμή t = 0 και παίρνει τιμές στο διάστημα [0,2π rad).
Παράδειγμα: Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η ταχύτητά του μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση υ = 20συν10t (S.I.). Να βρεθεί η φάση του μεγέθους ταχύτητα σε συνάρτηση με το χρόνο.
Απάντηση: Για να βρούμε τη φάση του μεγέθους ταχύτητα (αρμονικά εναλλασσόμενο) πρέπει να φέρουμε το μέγεθος αυτό σε μορφή ημιτόνου.

Είναι υ = 20συν10t = 20ημ(10t + π/2) (S.I.). Συνεπώς η φάση του αρμονικά εναλλασσόμενου μεγέθους ταχύτητα δίνεται από την εξίσωση φ
υ = 10t + π/2 (S.I.) Aν φτιάχναμε το περιστρεφόμενο διάνυσμα που αντιστοιχεί στην ταχύτητα, θα έπρεπε τη χρονική στιγμή t = 0 να το σχεδιάσουμε στην πάνω κατακόρυφη θέση, όπως φαίνεται και στο αριστερό σχήμα.

β) Φάση της απλής αρμονικής ταλάντωσης
Φάση της απλής αρμονικής ταλάντωσης έχει επικρατήσει να ορίζεται η φάση της απομάκρυνσης. Συνεπώς η φάση της απομάκρυνσης και η φάση της ταλάντωσης ταυτίζονται .

γ) Σύγκριση των φάσεων της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης κάθε χρονική στιγμή:

Αν έχουμε x = Aημ(ωt) [οπότε φx = ωt ] είναι υ = υ maxσυν(ωt) = υ maxημ(ωt + π/2) [οπότε φυ = ωt + π/2 ] και α = -α maxημ(ωt) = α maxημ(ωt + π) [οπότε φα = ωt + π ]. Δηλαδή η φάση της επιτάχυνσης φα είναι κάθε χρονική στιγμή μεγαλύτερη της φάσης της ταχύτητας φυ κατά π/2 rad, ενώ η φάση της ταχύτητας φυ είναι κάθε χρονική στιγμή μεγαλύτερη από τη φάση της απομάκρυνσης φx κατά π/2 rad. Επίσης η επιτάχυνση είναι κάθε χρονική στιγμή μεγαλύτερη από τη φάση της απομάκρυνσης κατά π rad. Χρήσιμη είναι και η ταυτόχρονη αναπαράσταση των περιστρεφόμενων διανυσμάτων για τα μεγέθη x, υ, α που φαίνεται για μία τυχαία χρονική στιγμή στο διπλανό σχήμα.

Παράδειγμα: Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x = 0,2συν(10t). Να γραφεί η χρονική εξίσωση της φάσης της ταλάντωσης καθώς και οι χρονικές εξισώσεις των φάσεων της ταχύτητας και της επιτάχυνσης.
Απάντηση: Η φάση της ταλάντωσης ταυτίζεται με τη φάση της απομάκρυνσης. Η απομάκρυνση είναι της μορφής x = 0,2συν(10t) και για να βρούμε τη φάση της πρέπει να τη φέρουμε σε μορφή ημιτόνου. Συνεπώς x = 0,2συν(10t) = 0,2ημ(10t + π/2). Άρα η χρονική εξίσωση της φάσης της ταλάντωσης είναι η φx = 10t + π/2 (η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι π/2 rad). Η φάση της ταχύτητας θα προκύψει από τη υ = f(t) αν τη φέρουμε σε μορφή ημιτόνου. Έχουμε ότι υ = 2συν(10t + π/2) =
2ημ(10t + π). Συνεπώς φυ = 10t + π (και είναι λογικό αυτό αφού είναι μεγαλύτερη της φάσης της απομάκρυνσης κατά π/2 rad). Τέλος για την επιτάχυνση έχουμε α = -20ημ(10t + π/2). Για να βρούμε τη φάση της πρέπει να τη φέρουμε σε μορφή ημιτόνου. Έχουμε α = -20ημ(10t + π/2) = 20ημ(10t + 3π/2). Επομένως η φάση της επιτάχυνσης είναι φα = 10t + 3π/2 (και είναι λογικό αφού είναι μεγαλύτερη της φάσης της απομάκρυνσης κατά π rad).

Παρατηρήσεις για τη διδασκαλία της φάσης - αρχικής φάσης της ταλάντωσης.

1) Η έννοια της φάσης της ταλάντωσης μπορεί να διδαχθεί όταν μιλήσουμε για πρώτη φορά για την αρχική φάση. Έτσι μπορούμε να τονίσουμε ότι υπολογίζεται από τον τύπο φ = ωt + φο.

2) Πρέπει να τονίσουμε ότι τη φάση της ταλάντωσης μπορούμε να τη βρούμε από την εξίσωση x = f(t) μόνο όταν την έχουμε σε μορφή ημιτόνου, από την εξίσωση υ = f(t) μόνο όταν την έχουμε σε μορφή συνημιτόνου και από την εξίσωση α = f(t) μόνο όταν την έχουμε σε μορφή μείον ημιτόνου. Εδώ είναι χρήσιμο να δώσουμε στους μαθητές μας τις εξής μετατροπές:
i) ημ(π/2 + φ) = συνφ,
ii) συν(π/2 + φ) = - ημφ,
iii) ημ(π+φ) = - ημφ,
iv) συν(π+φ) = - συνφ,
v) ημ(3π/2 + φ) = - συνφ και
vi) συν(3π/2 + φ) = ημφ.
[ Παράδειγμα: Βρες την αρχική φάση της ταλάντωσης αν υ = 20ημ10t (S.I.). Εδώ πολλοί μαθητές απαντούν ότι η ταλάντωση δεν έχει αρχική φάση ενώ όπως γνωρίζουμε είναι 3π/2 rad. Ξεχνούν δηλαδή να φέρουν την εξίσωση της ταχύτητας σε μορφή συνημιτόνου.]

3) Δεν αναφέρουμε καθόλου τις έννοιες φάση του μεγέθους ταχύτητα και φάση του μεγέθους επιτάχυνση (τουλάχιστον αρχικά) ώστε να μην μπερδέψουμε τους μαθητές μας (τα παραπάνω σχόλια είναι για τη δική μας πληροφόρηση).

4) Το περιστρεφόμενο διάνυσμα το χρησιμοποιούμε αρχικά μόνο για τη μελέτη της απομάκρυνσης. Στη συνέχεια κρίνουμε αν θεωρούμε σκόπιμο να εισάγουμε περιστρεφόμενο διάνυσμα για τη μελέτη της ταχύτητας ή της επιτάχυνσης.

5) Είναι πολύ σημαντικό οι μαθητές μας να υπολογίζουν την αρχική φάση. Τους προσανατολίζουμε λοιπόν να προσέχουν πάντοτε τι συμβαίνει τη χρονική στιγμή t = 0.

3 σχόλια:

Αστέριος είπε...

Γεια σας
Στο παράδειγμα: Βρες την αρχική φάση της ταλάντωσης αν υ = 20ημ10t, εκ παραδρομής γράψατε για την αρχική φάση π/2 ενω ειναι 3π/2.
Συγχραρητήρια για τη δουλειά που κάνετε καθώς επίσης και για το συγγραφικό σας έργο.

Τρανταφυλλίδης Αστέριος - Φυσικός
Θεσσαλονίκη

physiart είπε...

Κε Τριανταφυλλίδη, ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια καθώς και για την επισήμανσή σας. Το διόρθωσα ήδη...

Ανώνυμος είπε...

Σε αυτή τη δημοσίευση (άφησα παρόμοιο σχόλιο και σε εκείνη με την αρχική φάση) δεν φαίνονται οι εικόνες. Αν γίνεται, διόρθωσέ το. Ίσως έχεις μετακινήσει τον φάκελο που τις περιέχει και τώρα δεν μπορεί να τις δει.

Ευχαριστώ.